В работе рассматривается задача о существовании дерева с определенными числовыми характеристиками. Если задано дерево, то можно определить количества узловых вершин дерева и листьев, а также определить их степени. Тем самым для дерева можно определить набор пар, составные которых есть числа, соответствующие количествам узловых вершин и их степеней. Можно сформулировать обратную задачу: задаются пары натуральных чисел, вторые компоненты которых больше 1, и следует определить, найдется ли хотя бы одно дерево, что количества его узловых вершин и их степеней совпадают с данными парами. Решение этой задачи представлено в данной работе.

Исследована обратная задача идентификации безразмерного коэффициента теплопроводности  для уравнения Грина – Нагди III типа, которое описывает распространение тепловых возмущений с конечной скоростью и учитывает инерционные эффекты теплового потока. Для обратной задачи нарушается требование устойчивости (критерий Адамара), в результате чего даже минимальные искажения данных ведут к значительным ошибкам идентификации параметра.
В качестве метода решения задачи идентификации использован подход на основе физически информированных нейронных сетей (ФИНС), сочетающий возможности глубокого обучения с априорными знаниями о структуре дифференциального уравнения. Параметр  включен в число обучаемых переменных, а функция потерь сформирована на основе дифференциального уравнения, граничных условий, начальных условий и зашумленных экспериментальных данных с точечного датчика. Представлены результаты вычислительных экспериментов, демонстрирующие высокую точность восстановления параметра (погрешность менее 0.03%) и устойчивость метода к наличию аддитивного гауссовского шума в данных. Метод ФИНС показал себя как эффективный инструмент решения некорректных обратных задач математической физики.